数学基础发展史上的不同观点与悖论

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数学基础发展史上的不同观点与悖论

                编辑、点评李爱君、李天佑、奇东

    《古今数学思想》书中（第四册45页）：指出：“实数系的逻辑结构问题为十九世纪后叶所重视，无理数被认为是主要难点，然而无理数的意义与性质的发展预先假定了有理数系的建立，对无理数理论不同的贡献者来说，或则认为有理数已为众所确认，无须什么基础，或则认为只给出一些匆促而临时应付的方案，…。（316页）数学的第三种主要的哲学，称为形式派（形式主义），它的领导人是希尔伯特，他从1904年开始从事于这种哲学工作，他在那时的动机是给数系提供一个不用集合论的基础，并且确立算术相容性，因为他自己对于几何的相容性的证明已约化成算术的相容性，算术的相容性就成了一个没有解决的关键性问题，…。”，超限归纳法也不是彻底解决了算术问题。

自亚里士多德直至高斯先生人们都不承认实无限而只承认潜无限，《古今数学思想》书中(第四册59页)指出：“Gauss（高斯）于1831年7月12日给Schumacher（舒马赫）的信中说：我反对把一个无穷量当作实体，这在数学中是从来不允许的，无穷只是一种说话的方式，当人们确切地说到极限时，是指某些比值可以任意近地趋近它，而另一些则允许没有界限地增加。”，Canchy，如他前人一样，不承认无穷集合的存在，因为部分能够同整体构成一一对应这件事，在他看来是矛盾的。

    涉及集合的许多问题的争论，是无休止的，并且卷入了形而上学的甚至是神学的辩论，大多数数学家对这个问题的态度是：不谈他们自己所不能解决的问题，他们全都避免对实在无穷集合的明确承认，尽管他们使用无穷级数与实数系，他们会说到直线上的点，但避免说直线是由无穷多个点构成的，这样回避困难问题的方式是虚伪的，但这对于建立古典的分析确实足够了，然而，当十九世纪面对在分析中建立严密性的问题时，关于无穷集合的许多问题就再也躲避不开了。

    《古今数学思想》第四册（50～51）书中也对引进无理数的方法提出了不同看法和质疑：“无理数的逻辑定义是颇有些不自然的，从逻辑上看，一个无理数不是简单的一个符号，或一对符号，象两个整数的比那样，而是一个无穷的集合，如康托尔的基本序列或戴金的分割，逻辑地定义出来的无理数是一个智慧的怪物。

我们可以理解，为什么希腊人和许多后继的数学家都觉得这样的数难以掌握”。

  《古今数学思想》书中 (第四册58页) 指出：集合论里的中心难点是无穷集合这个概念本身，从希腊时代以来，这样的集合很自然地引起数学界与哲学界的注意，而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，使得对这种集合的理解，没有任何进展，Zenode的悖论可能是难点的第一个迹象，既不是直线的无限可分性，也不是直线作为一个由离散的点构成的无穷集合，足以对运动作出合理的结论。Aristotle（亚里士多德）考虑过无穷集合，例如整数集合，但他不承认一个无穷集合可以作为固定的整体而存在，对他来说，集合只能是潜在地无穷。

   《古今数学思想》第四册（116页）书中又说：“我们注意到，在过去曾经精力旺盛地热情地从事过的许多领域，曾被它们的拥护者誉为数学的精髓所在，其实只不过是一时的爱好，或者在整个数学的征途上只留下少许的影响。（二十世纪）上半世纪有信心的数学家们可能会认为他们的工作是最重要的，然而，他们的贡献在数学史上的地位，现在还是不能确定的，等语言，”。

  罗素悖论、 康托尔悖论、数学基础的“三大数学流派：

《古今数学思想》书中 (第四册289页) 指出：二十世纪数学中最为深入的活动，使关于基础的探讨，强加于数学家的问题，以及他们自愿承担的问题，不仅牵涉到数学的本质，也牵涉到演绎数学的正确性。

     在这世纪的前期，有几种活动汇合起来把基础问题引到一个高潮，首先是矛盾的发现，委婉地被称为悖论，在集合论中尤为突出。……。

    《古今数学思想》书中 (第四册290页) 指出：“理发师的悖论”，罗素在1918年把一个悖论通俗化成为“理发师悖论”，一个乡村理发师，自夸无人可与相比，宣称他当然不给自己刮脸的人刮脸，但却给所有自己不刮脸的人刮脸，一天他发生了疑问，他是否应当给自己刮脸，假如他自己刮脸的话，则按他声言的前一半，他就不应当给自己刮脸；但是假如他自己不刮脸的话，则照他自夸的，他又必须给自己刮脸，这理发师陷入了逻辑的窘境。

   《古今数学思想》书中 (第四册291～292页) 指出： 康托尔在1899年给戴金的一封信中曾指出，人们要想不陷入矛盾的话就不能谈论由一切集合所组成的集合（第41章第9节），实质上这就是罗素的悖论的内容（《数学原理》），由一切人组成的类不是一个人，但由一切概念组成的类却是一个概念；有一切图书馆组成的类是一个图书馆；由一切基数大于1的集合组成的类也是这样一个集合。因此，有一些类不是它们自己的元素，而有一些则是它们自己的元素。这个对于类的描述，包括了一切类，并且这两种类型是互相排斥的，我们用M表示一切包含自己为元素的那些类所组成的类，用N表示一切不包含自己为元素的那些类所组成的类，现在，N本身也是一个类，我们要问它是属于M还是属于N？若N属于N，则N就是它自己的一个元素，因而又必须属于M，另一方面，若N为M的一个元素，则因M和N是互相排斥的类，N就不会属于N，于是N不是它自己的元素，因而由于N的定义，它应当属于N。

    所有这些悖论的起因，如罗素和怀特海指出的，都在于一个要定义的东西是用包含着这个东西在内一类东西来定义的，这种定义也称为说不清的，特别发生在集合论中，策梅罗在1908年曾指出，一组数的下界的定义，以及分析中其它一些概念的定义，都是这种类型的定义，因此经典分析包含着悖论。

《古今数学思想》书中 (第四册292页) 指出：康托尔关于实数集合不可数的证明（第41章第7节）也用到了这样一个说不清的集合，假定在所有正整数组成的集合与所有实数组成的集合M之间有一个一一对应，而每一个实数又对应于一组整数，于是每一个整数k都对应着一个集合f(k),而f(k)或是包含k或是不包含k，N为所有那些使k不属于f(k)的k所组成的集合，这个集合N（取某一顺序）为一个实数，因而，按假定的一一对应就应该有一个整数n对应于N，若n属于N，则按N的定义，它将不属于N；若n不属于N，则按N的定义，它又应属于N，集合N的定义是说不清的，这是因为要k属于N，必须且只需在M中有一个集合K使K=f(k)并且k不属于K,这样，在定义N时就用到了一些集合的全体M，它包含着N作为元素，这就是说要定义N，N必须已经包含在M中。

     在无意中陷入了引进说不清的定义的陷阱，这是很容易的。……。

   

    《古今数学思想》第四册（320~321页）书中又指出：“不完备性的不足之处就在于，形式系统还不足以用来证明所有在系统中可以作出的判断。损伤更兼屈辱，系统中存在着这样的判断，它们是不可断定的但在直观上又是真的，等语句，因为哥得尔证明了，包括着数论的任何系统都必定含有不可断定的命题。这样，尽管布劳维已经弄清楚了，直观上明确的东西不及数学上证明了的东西多；哥德尔却证明了，直观的正确会超过数学的证明，”等语句。

   《古今数学思想》书中 (第四册322~323页) 指出：“对于数学基础的根本问题所提出的解答——（康托尔、等等先生的）经典集合论公理化，（罗素、怀特海）逻辑主义、（克罗内克、布劳维）直觉主义、（希尔伯特）形式主义——都没有达到目的，没有对数学提供一个可以普遍接受的径。在哥德尔1931年的工作以后的发展，也没有在实质上改变这种状况，…；该书中又指出：韦尔对数学的现状作了恰当的描述：关于数学最终基础和最终意义的问题还是没有解决，我们不知道向哪里去找它的最后解答，…”,这就是纯粹数学的基本现状。

   《古今数学思想》书中 (第四册323~324页) 指出：1930年以后的全部发展还留下来两个没有解决的大问题：去证明不加限制的经典分析与集合论的相容性，以及在严格直观的根基上去建立数学，或者去确定这种途径的限度，在这两个问题中，困难的根源都在于无穷集合和无限程序中所用到的无穷这个概念，即使对于希腊人也应经在无理数上造成了问题，而且他们在穷竭法中躲开它。从那以后，无穷这个概念一直是争论的地题目，并使韦尔说道，数学是无限的科学。

    关于数学的适当逻辑基础的问题，特别是直观主义的兴起，在某种较广的意义上，显示出数学走了一个圆圈。这门学科是在直观的和经验的基础上起始的，严密性在希腊时代就变成了一个目标，虽说到十九世纪以前在受到冲击时仍更加受到尊重，它似乎就要达到了，但是，过分追求严密性，将引入绝境而失去它的真正意义，数学仍是活跃而富有生命力的，但是它只能建立在实用的基础上。

  自亚里士多德直至高斯先生人们都不承认实无限而只承认潜无限，引进实无限数学理论大多数专家似乎舍弃了潜无限数学理论，实无限排斥潜无限、潜无限也排斥实无限，事实上互相排斥，必明确指出承认接受潜无限理论千万莫排斥掉了实无限数学理论，承认接受实无限千万莫排斥丢掉了潜无限的数学理论，…。

    《古今数学思想》第四册书中（313页）也指出：“…，数学中最重要的进展都不是由于要把逻辑形式完美化而得到的，而是由于基本理论本身的变革，是逻辑依靠数学，而不是数学依靠逻辑。”

    产生逻辑悖论的主要原因：总而言之，试图让逻辑包罗万象、竭尽所有，特殊矛盾与普遍矛盾不加以人为区分试图共享一个逻辑，谬误与真理不加以人为区分试图共享一个逻辑，必定遭遇逻辑悖论而不可思议，因为再好的逻辑自身不会加以区分和限制，数学基础发展史上不乏其例，比如“乡村理发师”的逻辑悖论（逻辑比喻）,就是一个特殊矛盾与普遍矛盾不加以区分的典型例子，“理发师”他自己是特殊矛盾，他必须唯一地将自己排除在外，具体问题具体分析…等等；（数学中也有范例可举，例如在数理逻辑中：m/n,式中n≠0，n=0是特殊矛盾，所以在该式中数理逻辑将n=0排斥在外，人为处理得恰到好处），世上无十全十美的万能逻辑供我们人类选择与使用，…。